数轴上的动点问题，是七年级非常重要的问题，也是难题，因为这个知识比较综合，也比较抽象，是一类极为常见且重要的综合题，对学生的综合运用知识能力要求较高，涉及到“绝对值的几何意义、数在数轴上的表示、行程问题”等，更是学习“数形结合”思想的第一步．可用绝对值来表示，即两点所表示的数差的绝对值．如，数轴上点A，B所表示的数是a,b，则AB=|a-b|或|b-a|．数轴上动点坐标(点表示的数):点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个起点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。又如：数轴上点A对应的数为-1，点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间是t，则点P所表示的数是-1+2t．两点所表示的数相加的和除以2，如数轴上的点所表示的数是a,b，则线段AB的中点所表示的数是(a+b)/2.解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解。而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路。一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程。
例1．（2018春鄞州区期末）如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第_____次移动到的点到原点的距离为2018．分析：本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．【解答】：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3=﹣2；第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6=4；第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9=﹣5；第4次从点D向右移动12个单位长度至点E，则点E表示的数为﹣5+12=7；第5次从点E向左移动15个单位长度至点F，则F表示的数为7﹣15=﹣8；由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣1/2（3n+1），当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：1/2（3n+2），当移动次数为奇数时，﹣1/2（3n+1）=﹣2018，n=1345，当移动次数为偶数时，1/2（3n+2）=2018，n=4034/3（不合题意）．感悟：数轴上一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。运用这一特征探究变化规律时，要注意在循环往返运动过程中的方向变化。
例2．（2017秋黄埔区期末）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点；（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是多少？（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？【分析】本题考查了两点间的距离和数轴．解题时，需要采用“分类讨论”的数学思想．（2）分两种情况：①点P在点M的左边；②点P在点N的右边；进行讨论即可求解；（3）分两种情况：①点P在点Q的左边；②点P在点Q的右边；进行讨论即可求解． 点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣12×2=﹣37，点Q对应的数是﹣37+2=﹣35；点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣16×2=﹣45，点Q对应的数是﹣45﹣2=﹣47．例3、已知A、B是数轴上两点，A点对应数为2，B点对应数位12，C是数轴上一点，且AC=2AB。
(1) 求C点对应的数
(2) D是数轴上A点左侧一点，动点P从D点出发向右运动，2秒钟到达A点，4秒到达B点，求P点运动的速度；
（3）在（2）的条件下，又有2 个动点Q和R分别从A、B和P点同时向右运动，Q的速度为每秒1个单位，R的速度为每秒2个单位，求经过几秒，P和Q的距离等于Q和R的距离的1/2?
解析：
(1）由题意可知AB=12-2=10，所以AC=2AB=20，设点C对应的数为x，则有AC=|x-12|，所以有|x-12|=20，解得x=32或-8，即点C对应的数为32或-8；
（2）设P点运动速度为每秒y个单位，由题意可得方程（4-2）y=10，解得y=5，即P点每秒运动5个单位；
（3）由（2）知P点每秒运动5个单位，且Q为每秒1个单位，R为每秒2个单位，设经过t秒，P和Q的距离等于Q和R的距离的1/2，即Q和R的距离是P和Q的距离的两倍。因为三个点同时向右运动，所以：
P对应的数为：-8+5t,
Q对应的数为：2+t,
R对应的数为：12+2t,
Q和R的距离为|(12+2t)-(2+t)|=|10-t|,
P和Q的距离为|(-8+5t)-(2+t)|=|-10+4t|,
所以有|10-t|=2|-10+4t|
即|10-t|=|-20+8t|，所以
10-t=-20+8t，或10-t=-（-20+8t），
解得t=10/3或t=10/7
例4．（2017秋越城区期末）如图1，有A、B两动点在线段MN上各自做不间断往返匀速运动（即只要动点与线段MN的某一端点重合则立即转身以同样的速度向MN的另一端点运动，与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变），已知A的速度为3米/秒，B的速度为2米/秒（1）已知MN=100米，若B先从点M出发，当MB=5米时A从点M出发，A出发后经过_______秒与B第一次重合；（2）已知MN=100米，若A、B同时从点M出发，经过_______秒A与B第一次重合；（3）如图2，若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合于点E，第二次重合于点F，且EF=20米，设MN=s米，列方程求s．【分析】考查了一元一次方程的应用和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．（1）可设A出发后经过x秒与B第一次重合，根据等量关系：路程差=速度差×时间，列出方程求解即可；（2）可设经过y秒A与B第一次重合，根据等量关系：路程和=速度和×时间，列出方程求解即可；（3）由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个MN，第二次重合共走了4个MN，可得ME=2/(3+2)×2MN=4/5MN，MF=2MN﹣2/(3+2)×4MN=2/5MN，根据EF=20米，列出方程求解即可．【解答】（1）设A出发后经过x秒与B第一次重合，依题意有（3）由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个MN，第二次重合共走了4个MN，可得ME=2/(3+2)×2MN=4/5MN，MF=2MN﹣2/(3+2)×4MN=2/5MN，反思：笔者曾用这道题作为七级上期中考的复习题，特别是第(3)小题，学生要么晕乎乎不会做，要么就是用小学的竞赛的算术法．用小学的竞赛的算术法很多学生都无法理解，但是用“字母来表示动点的问题”来解决，这道题就显得“ So easy”了．点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{ A，B }的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{ A，B }的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B }的奇点，但点D是{B，A}的奇点．如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数______所表示的点是{ M，N}的奇点；数_______所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【分析】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．（1）根据定义发现：奇点表示的数到{ M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为6，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB=3PA；②PA=3PB；可以得出结论．故数3所表示的点是{ M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）30﹣（﹣50）=80，80÷（3+1）=20，故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．数学学习的精髓就是把“复杂问题”简单化，在解决动点问题时，首先遇到的第一个困难就是分析不出动点的运动过程，空间想象力和逻辑分析能力都显得不够，而在解题时，尤其是在考试过程中遇到动点问题，笔者的建议是多动手，多画几个运动过程中的图形，对于多个不同的运动时刻，按次序画出多个图形进行比较，往往可以看出动点的运动趋势和图形的整体变化过程，从而把握运动的全过程，为分类讨论和计算做好准备。比如我们可以画出特殊时间节点时刻的图形，通过观察比较寻找运动规律，而对动点运动时的一些特殊位置，比如两点重合，或者某一点到达一个特殊位置等，更需要画出图形，这些特殊位置往往是进行分类讨论的关键点。通过画图把握了运动的全过程，然后就可以根据不同情况进行分类讨论，寻找等量关系列方程计算。这一步骤的关键是用代数式表示图形中的各量，主要是图中的各条线段长，最后寻找各线段之间的等量关系，列出方程求解。其它文献请点击上面的蓝字或搜索“初中数学综合题的教与学”（也有高中内容）关注本公众号，谢谢！